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By Pedroza C.

ISBN-10: 3900051070

ISBN-13: 9783900051075

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Dans l’autre sens, on observe qu’on peut trouver un ensemble d´enombrable d’ouverts U = {Un , n ≥ 1} de E tels que tout ouvert de E soit r´eunion d’une sous-famille de U (si (xk ) est une suite dense dans E, il suffit de prendre pour U les boules ouvertes de rayon rationnel centr´ees en l’un des xk ). Soit V = {Vn , n ≥ 1} une famille analogue pour F . Pour tout ouvert O de E × F et tout z = (x, y) ∈ O, on sait que O contient un ouvert de la 55 forme U × V , o` u U , resp. V , est un ouvert de E, resp.

Pour chaque i ∈ N, on peut trouver yi > yi tel que F (yi ) ≤ F (yi ) + ε2−i . ,Nε } de la famille des intervalles ouverts (]xi , yi [)i∈N . Un raisonnement simple montre qu’alors Nε F (b) − F (a + ε) ≤ i=0 (F (yi ) − F (xi )) ≤ ∞ i=0 (F (yi ) − F (xi )) ≤ En faisant tendre ε vers 0 on trouve F (b) − F (a) ≤ ∞ i=0 40 (F (yi ) − F (xi )) ∞ i=0 (F (yi ) − F (xi )) + 2ε. ce qui par d´efinition de µ∗ donne bien la minoration µ(]a, b]) ≥ F (b) − F (a). Cas des mesures de Radon. La formule F (x) = µ(]0, x]) −µ(]x, 0]) si x ≥ 0, si x < 0, donne une correspondance bijective entre mesures de Radon µ sur R et fonctions F : R −→ R croissantes continues a` droite et nulles en 0.

Soit alors ε > 0. On peut trouver un ouvert O contenant A tel que µ(O\A) < (ε/2)p , et donc 1O − 1A p ε < . 2 Ensuite, pour tout k ≥ 1, on pose ϕk (x) = (k d(x, O c )) ∧ 1. La fonction ϕk est lipschitzienne et ϕk ↑ 1O quand k → ∞. Par convergence domin´ee, |1O − ϕk |p dµ −→ 0 quand k → ∞, et donc on peut choisir k assez grand pour que 1 O − ϕk p ε < . 2 ≤ 1 A − 1O p + 1 O − ϕk Finalement, 1 A − ϕk p p < ε. (3) On utilise le lemme suivant, dont la preuve est repouss´ee a` la fin de la d´emonstration.

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by Jason
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